Diario delle Lezioni


I Settimana (23-28 Settembre)
Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi invertibili. Omomorfismi di anelli. Teorema Fondamentale dell'Omomorfismo. Anelli-quoziente ed ideali degli anelli-quoziente. Teorema di Krull-Zorn: ogni ideale proprio e' contenuto in un ideale massima
le.

Wolfang Krull
(26 August 1899, Baden-Baden, Germany,  
12 April 1971, Bonn, Germany)
Max Zorn
(June 6, 1906 in KrefeldGermany,

March 9, 1993 in BloomingtonIndiana, USA)

II Settimana (30 Settembre-4 Ottobre)
Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa (saturata o non saturata).
Un dominio è un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo e, quindi, un PID è un UFD.

III Settimana (7-11 Ottobre)
Omomorfismo naturale da un anello al suo anello delle frazioni. Proprietà di universalità dell'anello delle frazioni rispetto ad una parte moltiplicativa.
Proprietà e descrizione dell'ideale nucleo. Localizzazioni ed anelli locali.  Esempi. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Operazioni tra ideali ed esempi. Distributività delle operazioni tra ideali. 
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprietà. 
Nathan Jacobson
(October 5, 1910, WarsawPolandRussian Empire
December 5, 1999, Hamden, Connecticut)
IV Settimana (14-18 Ottobre)  
Operazioni tra ideali ed esempi. Prodotto diretto di anelli. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi.



Moduli su un anello. Esempi e prime proprietà. Hom_A(M, N) e dualità. 
L'anello (non commutativo) End_A(M
contiene A come sottoanello (commutativo).  Moduli finitamente generati. Moduli liberi. 
Sottomoduli, moduli-quoziente. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.
Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati ("determinant trick"). 
Lemma di Nakayama: varie formulazioni.



V Settimana (21-25 Ottobre)


Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un 
anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Esempi. Applicazioni spettrali 
associate ad omomorfismi tra anelli. Controimmagini di chiusi e di aperti basici: continuità 
della applicazione spettrale associata ad un omomorfismo tra anelli.
La lezione del 24 Ottobre (sospesa per la concomitanza con la sessione di laurea) verrà recuperata 
l'11 Novembre.


Oscar Zariski (born Oscher Zaritsky)
(
RussianО́шер Зари́цкий)
April 24, 1899, in 
KobrinRussian Empire (today Belarus),
died July 4, 1986, 
Brookline, Massachusetts)
             





VI Settimana (28 Ottobre - 1 Novembre)



Didattica sospesa per lo svolgimento delle prove di valutazione in itinere di tutti i corsi del Primo semestre.

VII Settimana (4 - 8 Novembre)
Applicazioni spettrali: continuità, immersioni aperte e chiuse. 
Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.
Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A).  Spec(A) è uno spazio T_0 , ma non T_1. Spec(A) è 
uno spazio 
T_1 se e soltanto se è T_2 se e soltanto se ogni ideale primo è massimale.
Quasi-compattezza di Spec(A) e di ciascuno dei suoi aperti basici. Composizione di applicazioni spettrali 
associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un 
omomorfismo iniettivo.
Seminario sugli ideali primi di un anello di polinomi.

VIII Settimana (11 - 15 Novembre)
Prodotto diretto e somma diretta di moduli: loro proprietà universali.
Moduli liberi: caso generale e caso di moduli finitamente generati. Proprietà di universalità del 
modulo libero.
Prodotto tensoriale di moduli: proprietà universale e sua costruzione. Prime proprietà del prodotto 
tensoriale ed esempi. Alcuni esempi di prodotto tensoriale: caso del prodotto tensoriale su Z di Z/nZ 
con Z/mZ.
Dipendenza integrale. Esempi e controesempi. 
Seminario sulle successioni esatte di moduli.


IX Settimana (18 - 22 Novembre)
Dipendenza integrale. Esempi e controesempi. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprietà 
delle estensioni intere: stabilità per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni.
Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-
Seidenberg. 
Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".
Abraham Seidenberg
June 2, 1916, Washington D.C.
May 3, 1988 , Milan, Italy


[di Irvin S. Cohen (1917 – 1955)  morto a 38 anni non sono disponibili immagini sul web.

He was a student of Oscar Zariski at Johns Hopkins University. and then was a faculty at M.I.T. 
In 1946 he proved the unmixedness theorem for power series rings, as a result of which 
Cohen–Macaulay ring are named after him and F. S. Macaulay. Cohen and Seidenberg 
are famous for their Cohen-Seidenberg theorems.]


Per ogni dominio D si ha D =  D_M, M ideale massimale di D. 
Un dominio è integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente.

X Settimana (25 - 29 Novembre)
Anelli di valutazione. 
Prime proprietà ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli 
integralmente chiusi. Lemma u, u^{-1}.
Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Teorema di Krull: 
un dominio integralmente chiuso è intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.

Wolfang Krull
a 21 anni d'età, Göttingen

Anelli noetheriani: definizione, caratterizzazioni ed esempi.

Stabilità della proprietà di essere un anello noetheriano per passaggio agli anelli-quoziente
ed agli anelli di frazioni. 
Amalie Emmy Noether
23 March 1882, Erlangen, Bavaria, Germany
14 April 1935, Bryn Mawr, Pennsylvania, USA





David Hilbert
January 23, 1862, Kaliningrad
February 14, 1943, Göttingen
Introduzione e motivazioni per il Teorema della Base di Hilbert: noetheriano implica che
A[X] noetheriano. Prima parte della dimostrazione del Teorema della Base di Hilbert.
Seminario: Piattezza e successioni esatte.

XI Settimana (2 - 6 Dicembre)
Moduli noetheriani: definizione, prime proprietà ed esempi. Un modulo di tipo finito su 
un anello noetheriano è un modulo noetheriano.
Fine della dimostrazione del Teorema della Base di Hilbert.
Ideali irriducibili ed ideali primari. Esempi e prime proprietà.
Ogni ideale primo è un ideale irriducibile. In un anello noetheriano ogni ideale irriducibile è 
primario.
In un anello noetheriano ogni ideale si decompone nella intersezione di una famiglia finita di
ideali primari.
Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideale primario. Esempi.
Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi.
Proprietà degli ideali primari negli anelli noetheriani.
Seminario: Going-down ed incomparabilità. Preservazione della dimensione in estensioni 
integrali.

XII Settimana (9 - 13 Dicembre)
Ulteriori proprietà degli ideali primari. Radicale primo di un ideal primario. Esempi. 
Potenze di ideali massimali e di potenze di ideali primi. Proprietà degli ideali primari negli 
anelli noetheriani.
Unicità degli ideali primi associati ad una decomposizione primaria minimale di un ideale non 
nullo di un anello noetheriano. 
Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.
Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte" ): Esempi ed applicazioni. 
Lemma di Normalizzazione di Noether (cenni). Dimostrazione delle varie formulazioni del 
Teorema degli zeri di Hilbert.
Gruppi abeliano ordinati (totalmente). Valutazioni e Valutazioni discrete.

Seminari:
Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche,
 irriducibilità. 
- Condizioni sulle catene e moduli noetheriani ed artiniani.  


XIII Settimana (16 - 19 Dicembre)
Valutazioni e Valutazioni discrete. Anello associato ad una valutazione. Valutazioni equivalenti. Corrispondenza biunivoca tra anelli di valutazione e classi di valutazioni equivalenti.
Esempi di valutazioni discrete e di valutazioni non discreta.
Anello di valutazione discreta associato ad una valutazione discreta. Proprietà degli ideali di 
un anello di valutazione associato ad una valutazione discreta. 
Domini di valutazione discreta (abbreviati, DVR).  Prime caratterizzazioni dei domini di 
valutazione discreta. Un DVR è un PID (ma non viceversa).



                      
                József Kürschák
                      14 March 1864, Buda 
                        26 March 1933, Budapest
                       
Alexander Markowich Ostrowski
5 September 1893, KievRussian Empire
20 November 1986, MontagnolaLuganoSwitzerland
Kurt Wilhelm Hensel
29 December 1861
KönigsbergPrussia 1 June 1941
MarburgGermany



Globalizzazione dei domini di valutazione discreta: domini di Dedekind. 
Esempi di domini di Dedekind. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede 
una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi 
(=massimali).  Ogni PID e' un Dominio di Dedekind. Gli anelli di interi algebrici 
(anelli ottenuti per chiusura integrale di  Z  in una estensione algebrica finita di  Q) sono 
domini di Dedekind (cenni).
Seminario: Anelli completi di frazioni.