domenica 18 agosto 2013


   


                                                         
       

Docente: Marco Fontana

Dipartimento di Matematica e Fisica, 
Matematica: Stanza 204
tel. [+39] 06 5733 8232
e-mail: fontana(at)mat.uniroma3.it


Orario di ricevimento (I Semestre 2013/14):
Martedì ore 10-11   e  Giovedì ore 13-14
oppure
per appuntamento da fissare via email



Scheda del corso (Syllabus per il Diploma Supplement)
Moduli. Ideali. Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali. Anelli e moduli noetheriani. Teorema della base (BasisSatz) di Hilbert. Dipendenza integrale. Anelli di valutazione. Teorema di Krull (chiusura integrale e valutazioni). Teorema degli zeri (NullstellenSatz) di Hilbert. Domini di Dedekind. Anelli e moduli artiniani. Spettro primo di un anello e topologia di Zariski.
Ulteriori argomenti potranno essere svolti in accordo con gli studenti frequentanti.
Il corso è rivolto agli studenti della laurea triennale e magistrale ed è particolarmente indicato per coloro che intendano approfondire tematiche di algebra, geometria algebrica e teoria dei numeri.

  
   Crediti (CFU-ECTS):  7                  I   Semestre             Prerequisiti: AL210         
                                        
Insegnamento valido per la PFA (Prova Finale di tipo A)
  

Bibliografia essenziale
  • M.F. Atiyah - I.G. Macdonald, Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. Edizione in italiano con note di P.Maroscia, Feltrinelli, 1981.
  • I. Kaplansky, Commutative rings (revised edition), The University of Chicago Press, Chicago, 1974.
  • H. Li, An introduction to commutative algebra (from the viewpoint of normalization), Word Scientific Publishing Company, 2004.
Ulteriori riferimenti bibliografici
  • Nicolas Bourbaki, Algèbre Commutative, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, 1961 ....
  • Arthur Chatters, C. R. Hajarnavis, Charudatta Hajarnavis, An Introductory Course in Commutative Algebra, Oxford Univ Press, 1998.
  • David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea, Ideals, Varieties, And Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra, Springer Verlag, 2007.
  • D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer, 1995.
  • R. Gilmer, Multiplicative Ideal theory, Dekker, New York, 1972.
  • Manfred Knebusch, Digen Zhang, Manis Valuations and Prufer Extensions I: A New Chapter in Commutative Algebra, Springer 2002.
  • E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Bikhauser, Berlin, 1985.
  • H. Matsumura, Commutative Algebra,W. A. Benjamin, 1970.
  • H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1989.
  • M. Reid, Undergraduate commutative algebra, LMS Student Texts, Cambridge 1995.
  • R.Y. Sharp, Steps in commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts, Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
  • I. Swanson, C. Huneke: Integral closure of ideals, rings, and modules. Cambridge Univ. Press, 2006.
  • John J. Watkins, Topics in Commutative Ring Theory, Princeton University Press, 2007.
  • O. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra, Van Nostrand, 1958-1960 (reprinted, Springer 1975-1977)




    Appunti on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed altri links utili                          
This course is an introduction to modules over rings, Noetherian modules, unique factorization domain and polynomial rings over them, modules over principal ideal domains, localization [pdf file 202K].

Chapter 0 Ring Theory Background (7 pp.); Chapter 1 Primary Decomposition and Associated Primes (15 pp.);  Chapter 2 Integral Extensions (9 pp.);  Chapter 3 Valuation Rings (9 pp.);  Chapter 4 Completion (10 pp.);  Chapter 5 Dimension Theory (15 pp.);  Chapter 6 Depth (4 pp.); Chapter 7 Homological Methods (8 pp.);  Chapter 8 Regular Local Rings (3 pp.; ) Exercises (7 pp.);  Solutions (8 pp.);  List of Symbols;  Index

1 Rings and Modules 3
1.1 Ideals and Radicals 3
1.2 Polynomial rings and Localization of rings 8
1.3 Modules 11
1.4 Zariski Topology 12
Exercises 14
2 Noetherian Rings 17
2.1 Noetherian Rings and Modules 17
2.2 Primary Decomposition of Ideals 19
2.3 Artinian Rings and Modules 23
2.4 Krull's Principal Ideal Theorem 27
Exercises 14
3 Integral Extensions 32
3.1 Integral Extensions 32
3.2 Noether Normalization 35
3.3 Finiteness of Integral Closure 38
Exercises 42
4 Dedekind Domains 44
4.1 Dedekind Domains 45
4.2 Extensions of Primes 50
Exercises 42
A Appendix: Primary Decomposition of Modules 55
A.1 Associated Primes of Modules 55
A.2 Primary Decomposition of Modules 58
Exercises 62
References

S. Kleiman, Commutative Algebra, MIT OpenCourseWare >>


A. Altman and S. Kleiman, A Term of Commutative Algebra (2012)  .pdf 
Contents
Preface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
1. Rings and Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2. Prime Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3. Radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4. Modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5. Exact Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6. Direct Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7. Filtered Direct Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8. Tensor Products . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9. Flatness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
10. Cayley–Hamilton Theorem . . . . . . . . . . . . . . . 49
11. Localization of Rings . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
12. Localization of Modules . . . . . . . . . . . . . . . . 61
13. Support . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
14. Krull–Cohen–Seidenberg Theory . . . . . . . . . . . . . 71
15. Noether Normalization . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Appendix: Jacobson Rings . . . . . . . . . . . . . . . 80
16. Chain Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
17. Associated Primes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
18. Primary Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 91
19. Length . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
20. Hilbert Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Appendix: Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . 107
21. Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
22. Completion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
23. Discrete Valuation Rings . . . . . . . . . . . . . . . 122
24. Dedekind Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
25. Fractional Ideals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
26. Arbitrary Valuation Rings . . . . . . . . . . . . . . . 136

Contenuto: Teoria della dimensione; Grado di Trascendenza; Polinomi di Hilbert; Dimensione di Krull; Anelli regolari e singolari; Molteplicita. Successioni regolari ad anelli di Cohen-Macaulay; Completamenti. Metodi omologici; Introduzione agli schemi; Topologa di Zariski; Fasci di anelli e moduli; Il linguaggio dei funtori; Discesa fedelmente piatta. Morfismi étale, piatti e lisci; Differenziali algebrici; Algebre étale; Anelli Henseliani; Introduzione alle topologie di Grothendieck; La topologia étale.



                        Valutazione in itinere: Seminari, "esoneri"                                    

La valutazione del profitto verrà  effettuata di preferenza durante il semestre. Gli studenti frequentanti saranno invitati ad effettuare almeno un seminario di approfondimento su tematiche collegate a quelle svolte a lezione.
Gli studenti che hanno sostenuto con esito positivo, nel corso del semestre, le prove di valutazione parziale (seminari e prove scritte) accedono direttamente al colloquio di verbalizzazione del voto proposto dal docente, da effettuarsi durante la I Sessione di esame (Appello A o B ).
Per tutti gli studenti che non si avvalgono della possibilità della valutazione del profitto durante il corso, l'esame finale consiste in una prova scritta (comprendente anche domande di tipo teorico) o/e orale.


                        Seminari                                    

    •  7 Novembre 2013 - Andrea Cattaneo: Ideali primi in anelli di polinomi 
      [ I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 25-27]
    •  14 Novembre 2013 - Sabina Capaldi:  Sottomoduli e moduli-quoziente. Operazioni tra moduli. Successioni esatte 
      [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp.18-20 e 22-24]
      • 21 Novembre 2013 - Tatiana Porzio: Prodotti tensoriali (complementi). Esattezza (a destra) del prodotto tensoriale. Prodotto tensoriale di algebre[ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 25-31]
      • 28 Novembre 2013 - Maria Marseglia: Moduli di frazioni: prime proprietà 
         [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 38-43]
      • 5 Dicembre 2013 - Giulia Ferretti: Il Teorema del "going-down" (GD). Approfondimento delle relazioni tra  GU, INC e LO. 
        [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 63-64 e I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 28-32]
      • 9 Dicembre 2013  ore 11  - Chiara Mancini: Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche, irriducibilità 
        [ D. R. Wilkins: "Topics in Commutative Algebra" (notes on-line), pp. 21-31]
      • 9 Dicembre 2013 ore 12  -  Anna Francesca Porreca: Condizioni sulle catene e moduli noetheriani 
        [ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 74-78]

      • 17 Dicembre 2013 Raffaella Cuomo: L'anello completo dei quozienti di un anello commutativo e relazione con l'anello totale delle frazioni  
        [ J. Lambek "The complete ring of quotients of a commutative ring", pp. 36-42] 
       N.B. Le indicazioni bibliografiche sono minimali, da integrare con altre fonti bibliografiche (sia tradizionali che on-line) indicate nella bibliografia del corso.

         
                              Programma d'esame                                                         
      • Programma finale (vedere diario delle lezioni)

            
                               Calendario e Prove d'esame                                              
                         

        • Appello A:    16 Gennaio 2014, ore 10
        • Appello B:    5 Febbraio 2014, ore 10
        • Appello C:    5 Giugno 2014, ore 10